n³-n=n(n²-1)=(n-1)n(n+1)
Ta có trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có 1 số chia hết cho 3 nên n³-n chia hết cho 3.
Vì n lẻ => n-1 và n+1 chia hết cho 2
Vì n lẻ => n = 4k+1 hoặc 4k + 3
Với n = 4k + 1 => n-1 =4k chia hết cho 4, n+1=4k+2 chia hết cho 2
=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24
Với n = 4k + 3 => n-1 = 4k+2 chia hết cho 2, n+ 1 = 4(k+1) chia hết cho 4
=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24
Vậy n³-n chia hết cho 24 với n lẻ, n ∈ N
\(\Rightarrow n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) (*)
(*) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow n^3-n⋮3\left(1\right)\)(1)
Vì n là số lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\) Thay vào (*) ta được:
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+1\right)=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\) k(k+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) tồn tại 1 số chia hết cho 2 \(\Rightarrow k\left(k+1\right)⋮2\Rightarrow4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮8\Rightarrow n^3-n⋮8\)(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (3;8)=1 \(\Rightarrow n^3-n⋮24\)