Xét \(5040=2^4.3^2.5.7\)
Phân tích:
\(A=n\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]=n\left[\left(n^2-7n\right)^2-6^2\right]\)
\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)
Ta có:
\(n^3-7n-6=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-3\right)\)
\(n^3-7n+6=\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+3\right)\)
Do đó \(A=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Đây là tích 7 số nguyên liên tiếp. Trong 7 số nguyên liên tiếp:
- Tồn tại 1 bội số của 5 (nên A chia hết cho 5)
- Tồn tại 1 bội số của 7 (nên A chia hết cho 7)
- Tồn tại 2 bội số của 3 (nên A chia hết cho 9)
- Tồn tại 3 bội số của 2, trong đó có 1 bội số của 4 (nên A chia hết cho 16)
A chia hết cho các số 5, 7, 9, 16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040