Question

Cho n là số tự nhiên . Chứng minh với 2ⁿ + 1 là số nguyên tố thì n là lũy thừa của 2

Answer 1

Trả lời:

2ⁿ + 1 là số nguyên tố. Ta xét n > 1 (vì với n = 1 có 2ⁿ + 1 = 3 là số nguyên tố) => n không có ước nguyên tố lẻ. Thật thế giả sử n = k*p với p là số nguyên tố lẻ, k ≥ 1 
=> 2ⁿ + 1 = (2^k)^p + 1 = (2^k + 1)*B với B > 1, 2^k + 1 ≥ 2¹ + 1 = 3 > 1, tức 2ⁿ + 1 là hợp số, không thể 
Vậy n chỉ có ước nguyên tố 2, tức n là lũy thừa của 2, tức có dạng 2^k với k ≥ 0 (k = 0 cho n = 1) 
(ta đã dùng khai triển của aⁿ + bⁿ với n lẻ)