Question

Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm cạnh AB , P là giao điểm của hai tia CM và DA.

- Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành,tứ giác BCDP là hình thang vuông?

- Chứng minh 2SBCDP = 3SAPBC

- Gọi N là trung điểm BC. Q là giao điểm của DN và CM. Chứng minh AQ = AB.

Answer 1

a) Vì ABCD là hình vuông

=> BC//AD =>PD//BC

=> AB=BC=CD=AD (4)

Có M là trung điểm của AB (1)

=>MA=MB

*Xét \(\Delta PAM\) và \(\Delta CBM\) có:

\(\widehat{PAM}=\widehat{CBM}=90^o;MA=MB;\widehat{PMA}=\widehat{CMB}\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta PAM\) = \(\Delta CBM\)

\(\Rightarrow\) PM=CM

và PA=BC (3)

=> M là trung điểm của PC (2)

* Từ (1) và (2)

=> Tứ giác APBC là hình bình hành

* Xét tứ giác BCDP có

PD//BC (cmt)

=> BCDP là hình thang

mà \(\widehat{CDP}=90^o\)

=>BCDP là hình thang vuông (đpcm)

Từ (3)và (4)

=> AB=BC=CD=DA=PA

\(\Rightarrow\)S BCDP= (BC+PD).2DC

=>2S BCDP = 2(BC+PD).2DC=(BC+PD).DC

=>2SBCDP=(BC+AD+AP).DC

MÀ BC=AD=AP=DC (cmt)

=>2SBCDP=3BC.BC=3BC2

SAPBC=BC.CD

=> 3SAPBC=3BC.CD=3BC2

TA CÓ 2SBCDP=3BC2

3SAPBC=3BC2

=>2SBCDP=3SAPBC (đpcm)