Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AB < CD). Phân giác các góc A và B cắt nhau
tại K (K DC). Tia phân giác của góc D cắt tia phân giác của góc A tại P. Tia phân giác
của góc C cắt tia phân giác của góc B ở Q.
Chứng minh rằng:
a) DP AK, CQ BK
b) AD + BC = DC
c) P,Q nằm trên đường trung bình của hình thang ABCD.
a) Ta có AB // CD (gt)
=> gBAK = gDKA ( so le trong)
Mà gBAK = gDAK (AK là phân giác góc A)
gDAK = g DKA
ΔADK cần tại D có DP là pg goc D (gt)
DP đồng thời đường cao( TC)
DP ┴AK ( đpcm)
Cm tương tự có ΔBCK cân tại C ( gKBC=gBKC = gABK) có CQ là phân giác => CQ ┴BK ( đpcm)
b)c/m AD + BC = DC
Theo cma) ΔADK cân tại D => AD= DK
ΔBCK cân tại C => BC= CK
CD = DK+ CK = AD+ BC ( đpcm)
c)Lấy M,N là trung điểm của AD và BC => MN là đường trung bình của hình thang ABCD (đn)
=> MN // AB ; MN // CD (1)
+) Vì ΔADK cân tại D có DP là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến => AP = PK
Xét ΔADK có AM= MD; AP = PK (cmt)
MP là đg TB (đn)
MP // DK (tc), K thuộc CD
=> MP // CD (2)
Tương tự : ΔBCK cân tại C có CQ là pg => QB= QK mà NB= NC => NQ là đg TB của ΔBCK => NQ // CK hay NQ // CD (3)
(1)(2)(3) => M,N,P,Q th. hàng hay P,Q thuộc đường trung bình MN. (ĐP