Question

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH \(\perp\) BD. Trung điểm của DH là I. Nối AI. Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt cạnh BC ở K. Chứng minh K là trung điểm của cạnh BC.

Answer 1

Gọi E là trung điểm của đoạn AH.

Xét \(\Delta\)AHD: E là trung điểm AH; I là trung điểm DH => EI la đường trung bình \(\Delta\)AHD.

=> EI//AD và EI=1/2AD (1)

Mà AD//BC => EI//BC hay EI//BK

Lại có: AD vuông góc AB => EI vuông góc AB (Quan hệ song song, vuông góc)

Xét \(\Delta\)AIB: AH vuông góc BI; EI vuông góc AB; E thuộc AH => E là trực tâm \(\Delta\)AIB

Suy ra BE vuông góc AI. Mà IK vuông góc AI tại I nên BE//IK

Xét \(\Delta\)BEIK: BE//IK; EI//BK (cmt) => Tứ giác BEIK là hình bình hành=> EI=BK (2)

Từ (1) và (2) => BK=1/2AD. Mà AD=BC => BK=1/2BC

=> K là trung điểm của BC (đpcm).