Question

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. Tam giá SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng SCD là \(\frac{a\sqrt{2}}{4}\). Tính thễ tích khối chóp SABCD

Answer 1

Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm CD \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

MH cắt (SCD) tại N mà \(MN=2ON\Rightarrow d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(M;\left(SCD\right)\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp SM\\AB\perp MN\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SMN\right)\Rightarrow CD\perp\left(SMN\right)\)

Từ M kẻ \(MH\perp SN\Rightarrow MH\perp\left(SCD\right)\Rightarrow MH=d\left(M;\left(SCD\right)\right)\)

\(\Rightarrow MH=2.\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\frac{1}{MH^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{MN^2}\Rightarrow\frac{1}{SH^2}=\frac{1}{MH^2}-\frac{1}{MN^2}=\frac{1}{a^2}\Rightarrow SH=a\)

\(\Rightarrow V=\frac{1}{3}SH.AB^2=\frac{a^3}{3}\)