Từ giả thiết suy ra S nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng qua B và C, lần lượt vuông góc AB và AC
Trong mặt phẳng (ABCD), qua B dựng d vuông góc AB, qua C dựng d' vuông góc AC, gọi H là giao điểm d và d' \(\Rightarrow H\) là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD)
Ta có các tam giác vuông ACH, ABH nội tiếp đường tròn đường kính AH nên ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AH
\(\Rightarrow O\) là trung điểm AH \(\Rightarrow MO//SH\) (tính chất đường trung bình)
\(\Rightarrow MO\perp\left(ABCD\right)\)
Cũng từ trên ta suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD
\(\Rightarrow SD\perp DA\)
Vì \(AB//CD\Rightarrow\alpha\) là góc giữa SC và CD
\(\Rightarrow cos\alpha=\left|cos\widehat{SCD}\right|=\sqrt{1-sin^2\widehat{SCD}}\)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên (SCD), do M là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(\Rightarrow K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD
Áp dụng định lý hàm sin:
\(sin\widehat{SCD}=\frac{SD}{2ID}>\frac{SD}{2MD}=\frac{SD}{SA}\) (do M là tâm mặt cầu \(\Rightarrow MD=MA=\frac{1}{2}SA\))
\(\Rightarrow cos\alpha< \sqrt{1-\frac{SD^2}{SA^2}}=\sqrt{\frac{SA^2-SD^2}{SA^2}}=\frac{AD}{SA}=\frac{BC}{SA}\)
