Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân đỉnh S. Gọi I là trung điểm cạnh BC.

a. Chứng minh BC vuông góc với SA.

b. Cho biết SA > AI và góc IAS bằng 30 độ. Chứng minh rằng SI vuông góc với IA.

Answer 1

a.

Do ABC đều \(\Rightarrow\) AI là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow AI\perp BC\) (1)

SBC vuông cân tại S \(\Rightarrow SI\) là trung tuyến kiêm đường cao

\(\Rightarrow SI\perp BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAI\right)\Rightarrow BC\perp SA\)

b.

\(SA>AI\Rightarrow\widehat{SIA}>\widehat{ASI}\Rightarrow\widehat{ASI}\) là góc nhọn

Do ABC đều \(\Rightarrow AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

SBC vuông cân tại S \(\Rightarrow SI=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng định lý hàm sin cho tam giác SAI:

\(\dfrac{SI}{sin\widehat{IAS}}=\dfrac{AI}{sin\widehat{ASI}}\Rightarrow sin\widehat{ASI}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{ASI}=60^0\) (do \(\widehat{ASI}\) nhọn)

\(\Rightarrow=180^0-\left(30^0+60^0\right)=90^0\)

Hay \(SI\perp IA\)

Answer 2