Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc (ABC) và = SA a. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của điểm A trên SM.
a) Chứng minh: BC ⊥(SAM ) , ⊥ AH ⊥ (SBC) .
b) Gọi I là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm tam giác SBC. Chứng minh: IK ⊥(SBC ) .
c) Gọi \(\alpha\)là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính cos\(\alpha\) .
a/M là trung điểm BC \(\Rightarrow AM\perp BC\) (t/c tam giác đều)
\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\)
\(\Rightarrow BC\perp AH\)
Mà \(AH\perp SM\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)
b/ \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BI\)
\(BI\perp AC\) (do I là trực tâm ABC)
\(\Rightarrow BI\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BI\perp SC\)
Mà \(BK\perp SC\) (do K là trực tâm tam giác SBC)
\(\Rightarrow SC\perp\left(BIK\right)\Rightarrow SC\perp IK\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(SB\perp\left(CIK\right)\Rightarrow SB\perp IK\)
\(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\)
c/ Kéo dài BI cắt AC tại E \(\Rightarrow\) E là trung điểm AC
Két dài BK cắt SC tại F
Do \(SC\perp\left(BHK\right)\) mà SC là giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
\(\Rightarrow\widehat{BFE}\) là góc giữa (SAC) và (SBC)
\(BE=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{SCB}=\frac{CM}{SC}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow sin\widehat{SCB}=\frac{\sqrt{14}}{4}\)
\(\Rightarrow BF=BC.sin\widehat{SCB}=\frac{a\sqrt{14}}{4}\)
\(\Rightarrow sin\widehat{BFE}=\frac{BE}{BF}=\frac{\sqrt{42}}{7}\Rightarrow cos\widehat{BFE}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)