Question

cho hàm số y=x^3-3mx^2+4m^3. xác định m để điểm cực đại, điểm cực tiêu của đths đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x

cho hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2-x+m+1\). Xác định m để khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đths là bé nhất

 

Answer 1

\(y'=3x^2-6mx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=4m^3\\x=2m\Rightarrow y=0\end{matrix}\right.\) với \(m\ne0\)

CĐ, CT đối xứng qua \(y=x\) khi:

\(4m^3=2m\Rightarrow m^2=\dfrac{1}{2}\Rightarrow m=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Answer 2

b.

\(y'=x^2-2mx-1\) có \(ac< 0\) nên luôn có 2 cực trị

Gọi \(x_{1;}x_2\) là hoành độ 2 cực trị \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

\(y_1-y_2=\dfrac{1}{3}\left(x_1^3-x_2^3\right)-m\left(x_1^2-x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]-m\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)-\left(x_1-x_2\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(x_1-x_2\right)\left(4m^2+1\right)-2m^2\left(x_1-x_2\right)-\left(x_1-x_2\right)\)

\(=-\dfrac{2}{3}\left(m^2+1\right)\left(x_1-x_2\right)\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\left(m^2+1\right)\)

Khoảng cách 2 cực trị:

\(f=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\dfrac{4}{9}\left(m^4+2m^2+1\right)\left(x_1-x_2\right)^2}\)

\(=\sqrt{4\left(m^2+1\right)+\dfrac{16}{9}\left(m^2+1\right)^3}\ge\sqrt{4+\dfrac{16}{9}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=0\)