Question

Cho hàm số: y = –( m 2  + 5m) x 3  + 6m x 2  + 6x – 5. Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

Answer 1

y = –( m 2  + 5m) x 3  + 6m x 2 + 6x – 5

y′ = –3( m 2  + 5m) x 2  + 12mx + 6

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

    +)  m 2 + 5m = 0 ⇔ 

– Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

– Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

    +) Với  m 2  + 5m ≠ 0. Khi đó, y’ không đổi dấu nếu

∆ ' = 36 m 2  + 18( m 2  + 5m) ≤ 0 ⇔ 3 m 2  + 5m  ≤  0 ⇔ –5/3  ≤  m  ≤  0

– Với điều kiện đó, ta có –3( m 2  + 5m) > 0 nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện –5/3  ≤  m  ≤  0 thì hàm số đồng biến trên R.