Đáp án B
Ta có y ' = m x 2 − 3 m + 2 x + 5 m − 1
Để hàm số đồng biến trên khoảng − 1 ; 2 thì y ' ≥ 0, ∀ x ∈ − 1 ; 2 .Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm
Cách 1:
Do ta chỉ xét giá trị m nguyên âm nên m x 2 − 3 m + 2 x + 5 m − 1 = 0 là phương trình bậc hai. Đặt f x = m x 2 − 3 m + 2 x + 5 m − 1
TH1: Hàm số có hai điểm cực trị
Để thỏa mãn y ' ≥ 0, ∀ x ∈ 0 ; 2 thì phương trình y ' = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn x 1 ≤ − 1 < 2 ≤ x 2
⇔ m . f − 1 ≤ 0 m . f 2 ≤ 0 ⇔ m . m + 3 m + 2 + 5 m − 1 ≤ 0 m . 4 m − 2 3 m + 2 + 5 m − 1 ≤ 0
⇔ m 9 m + 1 ≤ 0 m 3 m − 5 ≤ 0 ⇔ m ≥ − 1 9 m ≥ 5 3 ⇔ m ≥ 5 3
(do m nguyên âm nên không thỏa mãn)
TH2: Hàm số không có điểm cực trị
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thi Δ < 0 m > 0 (do m nguyên âm nên không thỏa mãn)
Vậy ta chọn B.
Cách 2:
y ' ≥ 0 ⇔ m x 2 − 3 m + 2 x + 5 m − 1 ≥ 0 ⇔ m x 2 − 3 x + 5 ≥ 2 x + 1 ⇔ m ≥ 2 x + 1 x 2 − 3 x + 5
(do x 2 − 3 x + 5 > 0 ∀ x )
Đặt g x = 2 x + 1 x 2 − 3 x + 5 . Ta có g ' x = − 2 x 2 − 2 x + 13 x 2 − 3 x + 5 2 > 0 ∀ x ∈ − 1 ; 2 . Vậy g x đồng biến trên − 1 ; 2
Để m ≥ g x ∀ x ∈ − 1 ; 2 thì m ≥ max x ∈ − 1 ; 2 g x = g 2 = 5 3
