Question

Cho hàm số (P): \(y=-x^2\) và đường thẳng (d): \(y=k\left(x+1\right)-12\). Biết (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi M, N là hình chiếu của A, B lên trục tung. Xét điểm I (1; 0), tìm m để \(MN^2+6=IM^2+IN^2\)

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+kx+k-12=0\)

Gọi a; b lần lượt là hoành độ của A và B (\(a< b\))

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-k\\ab=k-12\end{matrix}\right.\)

\(A\left(a;-a^2\right);B\left(a;-b^2\right)\Rightarrow M\left(0;-a^2\right);N\left(0;-b^2\right)\)

Gọi O là gốc tọa độ, theo định lý Pitago ta có:

\(IN^2=IO^2+ON^2=1+b^4\)

\(IM^2=OI^2+OM^2=1+a^4\)

\(MN^2=\left(OM-ON\right)^2=\left(a^2-b^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+6=1+a^4+1+b^4\)

\(\Leftrightarrow-2a^2b^2=-4\Rightarrow a^2b^2=2\Rightarrow ab=\pm\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow k-12=\pm\sqrt{2}\Rightarrow k=12\pm\sqrt{2}\)