\(f\left(x\right)=\dfrac{5^x}{5^x+5}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5^{x-1}}}\Rightarrow f\left(0\right)=\dfrac{1}{6}\).
Xét \(g:\left[0;+\infty\right]\rightarrow R\) xác định bởi \(g\left(x\right)=f\left(x^3+3mx^2+3m^2x\right)+f\left(m^3+m+1+\sqrt[3]{x+1}\right)-1\)
Có: \(g\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(m^3+m+2\right)-1=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5^{m^3+m+1}}}-\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5}}\)
Nếu \(m^3+m+1=1\Leftrightarrow m=0\) thì \(g\left(0\right)=0\)
Nếu \(m^3+m+1< 1\Leftrightarrow m< 0\) thì \(g\left(0\right)< 0\). Mặt khác:
\(\lim\limits g\left(x\right)_{x\rightarrow+\infty}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5^{x^3+3mx^2+3m^2x-1}}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5^{m^3+m+\sqrt[3]{x+1}}}}-1\right)=1>0\)
, nên theo định lí giá trị trung bình, g có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\).
Nếu \(m^3+m+1>1\Leftrightarrow m>0\):
Xét \(m\ge1\) thì: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+3mx^2+3m^2x-1>0\\m^3+m+\sqrt[3]{x+1}>0\end{matrix}\right.,\forall x\ge0\). Do đó: \(g\left(x\right)>\dfrac{1}{1+1}+\dfrac{1}{1+1}-1>0,\forall x>0\).
Vậy 0<m<1.
Bonus: tìm cận dưới tốt nhất cho m trong trường hợp này là khá khó, mình thử dùng công cụ để tìm thử nhưng số khá xấu :/
