1. Tính đạo hàm của \( f(x) \):
\[ f'(x) = (x \cdot e^x)' = e^x + x \cdot e^x = e^x (1 + x) \]
2. Xác định các điểm mà \( f'(x) \) bằng 0:
\[ e^x (1 + x) = 0 \]
\[ \Rightarrow e^x = 0 \ \text{hoặc} \ 1 + x = 0 \]
Phương trình \( e^x = 0 \) không có nghiệm vì hàm mũ luôn dương.
Phương trình \( 1 + x = 0 \) có nghiệm duy nhất là \( x = -1 \).
3. Xác định các khoảng biến thiên của \( f(x) \) dựa trên các điểm xác định được:
- Khi \( x < -1 \): \( f'(x) > 0 \) vì \( e^x > 0 \) và \( 1 + x > 0 \). Do đó, \( f(x) \) tăng trên khoảng này.
- Khi \( -1 < x < \infty \): \( f'(x) > 0 \) nếu \( x > -1 \) vì \( e^x > 0 \) và \( 1 + x > 0 \), và \( f'(x) < 0 \) nếu \( x < -1 \) vì \( e^x > 0 \) và \( 1 + x < 0 \). Do đó, \( f(x) \) có điểm cực tiểu tại \( x = -1 \).
4. Kiểm tra sự đơn điệu trên từng khoảng biến thiên:
- Khoảng \( (-\infty, -1) \): \( f(x) \) tăng.
- Khoảng \( (-1, \infty) \): \( f(x) \) giảm sau điểm cực tiểu \( x = -1 \).
Tóm lại, ta có bảng biến thiên và sự đơn điệu của hàm số \( f(x) = x \cdot e^x \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & f'(x) & \text{Biến thiên} & \text{Đơn điệu} \\
\hline
x < -1 & + & \text{Tăng} & \text{Tăng} \\
\hline
x = -1 & 0 & \text{Cực tiểu} & \text{Cực tiểu} \\
\hline
x > -1 & + \text{ nếu } x > -1 & \text{Giảm} & \text{Giảm} \\
\hline
\end{array}
\]