Question

Cho hàm số f ( x )  liên tục trên ℝ  và thỏa mãn 2 f ( x ) + 3 f ( - x ) = 1 4 + x 2 . Tính tích phân I = ∫ - 2 2 f ( x ) d x .

A.  I = π 10

B.  I = - π 10

C.  I = π 20

D.  I = - π 20

Answer 1

Đáp án C.

Lấy tích phân hai vế của biểu thức 2 f ( x ) + 3 f - x = 1 4 + x 2 , ta được

2 ∫ - 2 2 f ( x ) d x + 3 ∫ - 2 2 f ( - x ) d x = ∫ - 2 2 1 4 + x 2 d x ⇔ 2 I + 3 ∫ - 2 2 f ( - x ) d x = π 4

Xét J = ∫ - 2 2 f ( - x ) d x . Đặt t = - x ⇒ d t = - d x . Đổi cận: x = - 2 → t = 2 x = 2 → t = - 2  

Suy ra J = - ∫ 2 - 2 f ( t ) d t = ∫ - 2 2 f ( t ) d t = ∫ - 2 2 f ( x ) d x = I .

Vậy 2 I + 3 ∫ - 2 2 f ( x ) d x = π 4 ⇔ 2 I + 3 I = π 4 ⇔ I = π 20 .