Question

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn \(a^2+b^2=2\)Chứng minh \(a^4+b^4\ge a^3+b^3\)

Answer 1

Có: \(a^2+b^2=2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2\ge2.\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

\(\Leftrightarrow1\ge ab\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le4\Leftrightarrow a+b\le2\)

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\le2\left(2-ab\right)=4-2ab=4-\left(a^2+b^2\right)ab=\left(4-a^3b-ab^3\right)\left(1\right)\)(Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^4+b^4+a^3b+ab^3\ge a^4+b^4+2a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)^2=2^2=4\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge4-a^3b-ab^3\)(2)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1