Question

Cho hai số dương x,y thỏa mãn: x+2y=3.CMR \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)

Answer 1

Đặt  \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)  

\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\)  (do  \(x+2y=3\)  )

nên  \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\)  , ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

Do đó,  \(3A\ge2.2+5=9\)

Hay nói cách khác,  \(A\ge3\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy,  \(A_{min}=3\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1\)

Answer 2

dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .

dự đoán điểm rơi  x = y = 1 

                       Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)

                                \(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)

cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 ) 

                                                                  => \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1