Ta có :
\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+ab=1^3-3ab+ab=1-2ab\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow-ab\ge\frac{-1}{4}\Rightarrow-2ab\ge-\frac{1}{2}\Rightarrow1-2ab\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
bui huyen Cô- si chỉ dùng cho 2 số dương thôi, chắc gì a và b đã dương
Ta có: a3 + b3 + ab= (a + b)(a2 - ab + b2) + ab
=a2 + b2 ( vì a + b=1)
Theo đề bài a+ b= 1 nên b= 1 - a. Thay vào biểu thức trên, ta được:
a2 + (1 - a)2 = 2a2 - 2a + 1=2(a2 - a) + 1
=2(a2 - a + 1/4) + 1/2=2(a - 1/2)2 + 1/2
Vì 2(a - 1/2)2 >=0 nên 2(a - 1/2)2 + 1/2 >= 1/2
=> a3 + b3 + ab >= 1/2
\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab\ge\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1/2