cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O' ; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R > R' ). vẽ dây AM của đường tròn ( O ) và dây AN của đường tròn ( O' ) sao cho AM vuông góc AN. gọi BC là 1 tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( O ) và ( O' ) với B thuộc ( O ) và C thuộc ( O' )
a) CMR : 3 đường thẳng MN,BC và OO' đồng quy
b) xác định vị trí của M và N để tứ giác MNOO' có diện tích lớn nhất. tính giá trị lớn nhất đó
a) Ta có : \(\widehat{MOA}=\widehat{O_1}'\left(=180^o-2\widehat{A_1}\right)\)
\(\Rightarrow\)O'N // OM
Gọi P là giao điểm của MN và OO'
Ta có : \(\frac{O'P}{OP}=\frac{O'N}{OM}=\frac{R'}{R}\)
gọi P' là giao điểm của BC và OO',ta có :
\(\frac{O'P'}{OP'}=\frac{O'C}{OB}=\frac{R'}{R}\)
Suy ra \(P'\equiv P\)
b) gọi H là hình chiếu của O' trên OM
tứ giác MNO'O là hình thang nên \(S=\frac{\left(OM+O'N\right)O'H}{2}\)
\(S=\frac{R+R'}{2}.O'H\le\frac{R+R'}{2}.OO'=\frac{\left(R+R'\right)^2}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(H\equiv O\Leftrightarrow OM\perp OO'\)
Vậy ...