Question

 

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên
tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN

Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
 

Answer 1

 Xét tứ giác ABCD có:

+ O là trung điểm AC (gt).

+ O là trung điểm BD (gt).

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành (dhnb).

=> BC = AD (Tính chất hình bình hành).

Mà AD = DN (D là trung điểm AN).

=> BC = DN.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành (cmt).

=> BC // AD (Tính chất hình bình hành).

Xét tứ giác DBCN có:

+ BC = DN (cmt).

+ BC // DN (do BC // AD).

=> Tứ giác DBCN là hình bình hành (dhnb).

=> CN // BD (Tính chất hình bình hành). (1)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành (cmt).

=> AB = DC (Tính chất hình bình hành).

Mà AB = BM (B là trung điểm AM).

=> BM = DC.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành (cmt).

=> AB // DC (Tính chất hình bình hành).

Xét tứ giác BMCD có:

+ BM = DC (cmt).

+ BM // CD ( do AB // DC).

=> Tứ giác BMCD là hình bình hành (dhnb).

=> CM // BD. (Tính chất hình bình hành). (2)

Từ (1) và (2) => 3 điểm M, C, N thẳng hàng (đpcm).