Ta có :
BC// Ay
ð góc BCA = góc zAy
hay góc BAK = góc BCK = góc xAy/2 = 60 độ /2 = 30 độ ( Vì Az là tia phân giác góc xAy)
Xét tam giác BKA và tam giác BKC có :
Góc AKB = Góc CKB (=90 độ)
Cạnh BK chung
Góc BAK = góc BCK
ð tam giác BKA = tam giác BKC ( Cạnh góc vuông - góc nhọn)
ð AK = CK ( hai cạnh tương ứng )
ð K là trung điểm cạnh AC
b,Xét tam giác BAK có:
góc BAK + góc BKA + góc KBA = 180 độ
=>30 độ + 90 độ + góc KBA = 180 độ
Góc KBA = 180 độ - 90 độ -30 độ
Góc KBA = 60 độ
Xét tam giác BAH và tam giác ABK có :
Góc BHA = góc BKA (=90 độ)
AB là cạnh chung
Góc BAH = góc ABK ( = 60 độ)
ð tam giác BAH = tam giác ABK (cạnh huyền - góc nhọn)
ð BH = AK ( hai cạnh tương ứng)
Mà AK = CK
ð BH = AK = CK
Hay BH = AC/2
c,Kẻ trung tuyến KH’ ( Trung tuyến vừa là đường cao vừa là đường trung trực )
Xét tam giác KH’A và tam giác KH’M có:
góc A KH’ = góc MKH’( ta dựng)
cạnh KH’ là cạnh chung
góc AH’K = góc MH’ K
ð tam giác KH’A = tam giác KH’M(g.c.g)
ð góc KAH’ = góc KMH’ = 30 độ (Vì góc KAH’ = 30 độ)
Ta có : góc CMK + góc KMH’ = 90 độ
Hay góc CMK + 30 độ = 90 độ
ð góc CMK = 90 độ - 30 độ
ð góc CMK = 60 độ
Vì BC // Ay
Mà góc AMC = 90 độ
ð góc BCM = 90 độ
Ta lai có :
Tam giác BKA = tam giác BKC (theo câu a)
=> góc BAK = góc BCK (2 góc tương ứng)
Mà góc BAK = 30 độ
=> góc BAK = Góc BCK = 30 độ
Ta lại có :
Góc BCM = góc BCK + góc KCM
90 độ = 30 độ + góc KCM
=> góc KCM = 90 độ - 30 độ
=> góc KCM = 60 độ
Xét tam giác KMC có :
Góc KMC + góc KCM + góc CKM = 180 độ
Hay 60 độ + 60 độ + góc CKM = 180 độ
120 độ + góc CKM = 180 độ
=> góc CKM = 180 độ - 120 độ
=> góc CKM = 60 độ
Mà các góc của tam giác KMC đều bằng 60 độ
=> Tam giác KMC là tam giác đều