Question

Cho f(x) là một đa thức với hệ số dương. Biết f(0); f(x) là các số lẻ.

CMR: f(x) không thể có ngiệm nguyên.

Answer 1

- f(x)=a₁xⁿ+a₂x^n-1+a₃x^n-2+...+a_n-2x+a_n-1 là số lẻ.

- f(0)=a_n-1 là số lẻ nên a₁xⁿ+a₂x^n-1+a₃x^n-2+...+a_n-2x là sô chẵn.

- Gọi x=a là nghiệm của đa thức. Ta có:

f(a)=a₁aⁿ+a₂a^n-1+a₃a^n-2+...+a_n-2a+a_n-1=0

=>a(a₁a^n-1+a₂a^n-2+a₃a^n-3+...+a_n-2)=-a_n-1

=>a=-a_n-1/(a₁a^n-1+a₂a^n-2+a₃a^n-3+...+a_n-2).

- Ta thấy: a_n-1 là số lẻ ; (a₁a^n-1+a₂a^n-2+a₃a^n-3+...+a_n-2) là số chẵn nên

-a_n-1 không chia hết cho (a₁a^n-1+a₂a^n-2+a₃a^n-3+...+a_n-2)

=> a không nguyên.

- Vậy f(x) không thể có nghiệm nguyên