Question

Cho (d):y=mx-2m+4 và (P):y=x^2 Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1^2+x2^2 có giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=mx-2m+4\Leftrightarrow x^2-mx+2m-4=0\)

\(\left(d\right),\left(P\right)\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt, tức là:

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(2m-4\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m+16>0\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne4.\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-4\end{matrix}\right.\).

Theo đề: \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(\Rightarrow A=m^2-2\left(2m-4\right)=m^2-4m+8\)

\(\Rightarrow A=\left(m-2\right)^2+4\ge4\)

.Vậy: \(A_{min}=4\Leftrightarrow m=2\) (thỏa mãn).