Cho đường tròn tâm O bán kính R. Dây CD không đi qua tâm O, trên tia đối của tia CD lấy điểm M. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O), (A và B là hai tiếp điểm, A thuộc cung lớn CD). Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của OM và dây AB. Tia BI cắt đường tròn (O) tại E (E khác B).
a) Chứng minh O, A, M, B, I thuộc một đường tròn
b) Chứng minh AE//CD
c) Cho CD = \(R\sqrt{3}\). Tính \(\widehat{OHD}\)
a) Do MA, MB là các tiếp tuyến nên \(\widehat{MBO}=\widehat{MAO}=90^o\)
Xét tứ giác MBOA có \(\widehat{MBO}=\widehat{MAO}=90^o\) mà đỉnh A và đỉnh B đối nhau nên MBOA là tứ giác nội tiếp.
Vậy M, B, O, A cùng thuộc một đường tròn. (1)
Xét đường tròn (O) có I là trung điểm dây cung CD nên theo quan hệ đường kính dây cung ta có \(OI\perp CD\)
Suy ra \(\widehat{MIO}=90^o\)
Xét tứ giác MIOA có \(\widehat{MIO}=\widehat{MAO}=90^o\) mà đỉnh A và đỉnh I đối nhau nên MIOA là tứ giác nội tiếp.
Vậy M, I, O, A cùng thuộc một đường tròn. (2)
Từ (1) và (2) suy ra O, A, M, B, I cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
b) Do M, B, I, A thuộc đường tròn đường kính MO nên \(\widehat{BIM}=\widehat{BAM}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Xét đường tròn (O) ta lại có : \(\widehat{BAM}=\widehat{BEA}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BA)
Suy ra \(\widehat{BIM}=\widehat{BEA}\)
Mà chúng lại ở vị trí đồng vị nên AE // CD.
c) Xét tam giác BCM và tam giác DBM có:
Góc M chung
\(\widehat{MBC}=\widehat{MDB}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn một cung)
\(\Rightarrow\Delta BCM\sim\Delta DBM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BM}{DN}=\dfrac{CM}{BM}\Rightarrow BM^2=CM.DM\)
Xét tam giác vuông MBC, đường cao BH, theo hệ thức lượng ta có:
\(BM^2=MH.MO\)
Từ đó ta có \(CM.DM=MH.MO\Rightarrow\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MC}{MO}\)
Vậy thì \(\Rightarrow\Delta HCM\sim\Delta DOM\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{CHM}=\widehat{ODC}\)
Xét tứ giác CHOD có \(\widehat{CHM}=\widehat{ODC}\) mà \(\widehat{CHM}\) là góc ngoài tại đỉnh H, đối diện đỉnh D nên CHOD là tứ giác nội tiếp.
Do đó \(\widehat{DHO}=\widehat{DCO}\)
Xét tam giác vuông CIO có : \(CI=\dfrac{\sqrt{3}R}{2};CO=R\Rightarrow\cos\widehat{ICO}=\dfrac{CI}{CO}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{DCO}=30^o\)
Vậy thì \(\widehat{DHO}=30^o\)