Câu hỏi của Nguyễn Văn Khoa

Question

Cho đường tròn (O;R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C thuộc cung nhỏ AB)

Vẽ đường kính DE. Chứng minh rằng:

a)MA × MB=MC ×MD.

b) tứ giác ABCE là hình thang cân.

C)MA^2+MB^2+MC^2 + MD^2 có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).

Nguyễn Thị Trang · Accepted Answer

a) Xét (O;R) có:$\widehat{BCD}$là góc nt chắn cung BC$\widehat{BAC}$là góc nt chắn cung BC$\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{BAC}=sđ\widebat{BC}$Vì dây $AB\perp CD$tại M nên $\widehat{M}=90^o$Xét $\Delta ACM$và $\Delta DBM$:$\hept{\begin{cases}\widehat{AMC}=\widehat{DMB}=90^o\\widehat{BAC}=\widehat{BCD}\end{cases}}$$\Rightarrow\Delta ACM\infty\Delta DBM\left(gg\right)$$\Rightarrow\frac{AM}{DM}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow AM.MB=MC.DM$b) Vì $\Delta ACM\infty DBM\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{DBM}$Xét $\left(O;R\right):$$\Delta CDE$nt (O), cạnh DE là đường kính$\Rightarrow\Delta CDE$vuông tại C$\Rightarrow CD\perp CE\Rightarrow\widehat{DCE}=90^o$$\Delta BDE$nt $\left(O\right),$cạnh DE là đường kính$\Rightarrow\Delta BDE$vuông tại B$\Rightarrow\widehat{DBE}=90^o$Có$\widehat{MAC}+\widehat{ACM}=90^o\Rightarrow\widehat{MAC}=90^o-\widehat{ACM}$Và $\widehat{ABE}+\widehat{DBM}=90^o\Rightarrow\widehat{ABE}=90^o-\widehat{DBM}$Mà $\widehat{ACM}=\widehat{DBM}$$\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ABE}$Do $AB\perp CD,CD\perp CE\Rightarrow AB//CE$Xét tg ABCE có:$AB//CE$$\widehat{MAC}=\widehat{ABE}$$\Rightarrow Tg$ABCE là hthang cânc) Áp dụng đ/lí Pi-ta-go lần lượt vào các $\Delta AMC,\Delta BCM;\Delta BDM;\Delta ADM;\Delta BDE$có:$AM^2=AC^2-CM^2$(1)$MB^2=BC^2-CM^2$(2)$MC^2=BC^2-BM^2$(3)$MD^2=BD^2-BM^2$(4)$DE^2=BD^2+BE^2$(5)Công từng vế của (1)(2)(3)(4) ta đc đẳng thức:$MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AC^2-CM^2+BC^2-CM^2+BC^2-BM^2+BD^2-BM^2$                                                              $=AC^2+2BC^2-2CM^2-BM^2+BD^2-BM^2$                                                               $=AC^2+2BM^2-BM^2+BD^2-BM^2$(vì $BM^2=BC^2-CM^2$)                                                                $=AC^2+BD^2$                                                                  $=BE^2+BD^2$(vì AC=BE do ABCE là hthang cân)                                                                  $=DE^2$(c/m (5))Mà DE là đường kính của (O) nên DE=2R$\Rightarrow DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2$Vậy $MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$có g/trị ko đổi khi M thay đổi trong (O)Câu trả lời: a) Xét (O;R) có:$\widehat{BCD}$là góc nt chắn cung BC$\widehat{BAC}$là góc nt chắn cung BC$\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{BAC}=sđ\widebat{BC}$Vì dây $AB\perp CD$tại M nên $\widehat{M}=90^o$Xét $\Delta ACM$và $\Delta DBM$:$\hept{\begin{cases}\widehat{AMC}=\widehat{DMB}=90^o\\widehat{BAC}=\widehat{BCD}\end{cases}}$$\Rightarrow\Delta ACM\infty\Delta DBM\left(gg\right)$$\Rightarrow\frac{AM}{DM}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow AM.MB=MC.DM$b) Vì $\Delta ACM\infty DBM\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{DBM}$Xét $\left(O;R\right):$$\Delta CDE$nt (O), cạnh DE là đường kính$\Rightarrow\Delta CDE$vuông tại C$\Rightarrow CD\perp CE\Rightarrow\widehat{DCE}=90^o$$\Delta BDE$nt $\left(O\right),$cạnh DE là đường kính$\Rightarrow\Delta BDE$vuông tại B$\Rightarrow\widehat{DBE}=90^o$Có$\widehat{MAC}+\widehat{ACM}=90^o\Rightarrow\widehat{MAC}=90^o-\widehat{ACM}$Và $\widehat{ABE}+\widehat{DBM}=90^o\Rightarrow\widehat{ABE}=90^o-\widehat{DBM}$Mà $\widehat{ACM}=\widehat{DBM}$$\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ABE}$Do $AB\perp CD,CD\perp CE\Rightarrow AB//CE$Xét tg ABCE có:$AB//CE$$\widehat{MAC}=\widehat{ABE}$$\Rightarrow Tg$ABCE là hthang cânc) Áp dụng đ/lí Pi-ta-go lần lượt vào các $\Delta AMC,\Delta BCM;\Delta BDM;\Delta ADM;\Delta BDE$có:$AM^2=AC^2-CM^2$(1)$MB^2=BC^2-CM^2$(2)$MC^2=BC^2-BM^2$(3)$MD^2=BD^2-BM^2$(4)$DE^2=BD^2+BE^2$(5)Công từng vế của (1)(2)(3)(4) ta đc đẳng thức:$MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AC^2-CM^2+BC^2-CM^2+BC^2-BM^2+BD^2-BM^2$                                                              $=AC^2+2BC^2-2CM^2-BM^2+BD^2-BM^2$                                                               $=AC^2+2BM^2-BM^2+BD^2-BM^2$(vì $BM^2=BC^2-CM^2$)                                                                $=AC^2+BD^2$                                                                  $=BE^2+BD^2$(vì AC=BE do ABCE là hthang cân)                                                                  $=DE^2$(c/m (5))Mà DE là đường kính của (O) nên DE=2R$\Rightarrow DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2$Vậy $MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$có g/trị ko đổi khi M thay đổi trong (O)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)