Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA=2R, BC là đường kính quay quanh O sao cho đường thẳng BC không đi qua A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AO tại I khác A. Các đường thẳng AB,AC cắt (O) lần lượt tại D và E. K là giao điểm của DE và AO
a/ chứng minh bốn điểm K,E,C,I cùng thuộc một đường tròn
b/ tính độ dài đoạn AI theo R
c/ chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua 1 điểm cố định khác A khi đường kính BC quay quanh (O)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định thỏa mãn OA = 2R. Một đường kính BC quay quanh O sao cho A, B, C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường OA ở P (khác A). Đường thẳng AB, AC cắt (O) ở điểm thứ hai là D và E. Nối DE cắt OA ở K. Chứng minh:
1) Các tam giác OPB, AOC đồng dạng và tứ giác PECK nội tiếp
2) AK.AP = AE.AC
3) Đường thẳng DE đi qua một điểm cố định
4) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm cố định F từ đó suy ra vị trí CB để diện tích tứ giác ABPC lớn nhất
cho (O,R) ,1 điểm A cố định nằm ngoài (O) .OA=2R,đường kính BC quay quanh O sao cho A,B,C ko thắng hàng . đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt OA tại điểm I , AB cắt (O) tại D , AC cắt (O) tại E.
DE cắt OA tại K
cmr a, OI.OA=OB.OC
AK.AI=AE.AC
b, tính OI, AK theo R
c ,cm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua 1 điểm cố định khi BC quay quanh O
Bài 4: Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 8cm và một điểm A có khoảng cách OA = 16cm. Một dưong kính BC quay xung quanh tâm O (dưong thang BC không di qua A). Đưong tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đưong thang OA tại điểm thứ hai D. a/ Chứng minh A OAB và AOCD đồng dạng. b/ Tính OD, suy ra D là điểm cố định khi đường kính BC quay xung quanh điểm O. c/Giả sử AB cắt đưong tròn (O) tại điểm thứ hai E và AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F và gọi P là giao điểm của EF với OA. Chứng minh bốn điểm C, F, D, P cùng nằm trên một đưong tròn. Có nhận xét gì về bốn điểm B, E, D, P?
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc đường tròn (C khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.
1. Chứng minh bốn điểm A, E, C, O cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh BC.BD = 4R2 và OE song song với BD.
3. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC ở F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
4. Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao của AC và OE. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn (O; R) và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua một điểm cố định.
Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt (O;R) tại B và C (AB<AC). Gọi I là trung điểm BC
a, Chứng minh A, M, N, O, I cùng thuộc 1 đường tròn
b, Chứng minh AM2 = AB.AC
c, Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE // MC
d, CMR khi d quay quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC thuộc 1 đường tròn cố định
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi I là trung điểm BC
a, Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường tròn
b, Chứng minh A M 2 = A B . A C
c, Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chúng minh IE song song MC
d, Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định
Cho ba điểm cố định A B C , , theo thứ tự thẳng hàng. Gọi (O) là đường tròn đường
kính AB . Lấy I là một điểm cố định nằm giữa O và B và EF là một dây cung thay đổi của
đường tròn (O) luôn đi qua I . Gọi d là đường thẳng vuông góc AC tại C . AE , AF cắt d
lần lượt tại P và Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ cắt đường thẳng AB tại M .
1) Chứng minh rằng tứ giác PEFQ là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng tam giác AIF đồng dạng với tam giác AQM
3) Chứng minh rằng AF xAQ= AIx AM= ABx AC.
4) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp APQ luôn đi qua một điểm cố định thứ hai (khác
điểm A) khi dây EF thay đổi.
cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC<2R) ; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB<AC (A khác B). trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho ED=EC. tia BD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là F.
a) chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF.
b) gọi H là trực tâm tam giác DEC ; DH cắt BC tại N. đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định.
Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC (D khác O và C). Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm A. Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B).
1. CM: Tứ giác CDNE nội tiếp
2. CM: 3 điểm C, K và N thẳng hàng
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên 1 đường thằng cố định khi điểm M thay đổi