Cho đường tròn (O;r) và dây AB = R√2 cố định, M là điểm tùy ý trên cung lớn AB sao cho tam giác AMB có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tân của tam giác AMB. P và Q là giao điểm của hai tia AH và BH với đường tròn O. PB cắt QA tại S.
a) Chứng minh PQ là đường kính của đường tròn O
b) Tứ giác AMBS là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh SH có độ dài bằng đường kính của đường tròn (O)
\(a,AB=R\sqrt{2}\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AB}=90^0\)
Do \(AP\bot MB,BQ\bot MA\Rightarrow sđ\stackrel\frown{MP}=sđ\stackrel\frown{MQ}=90^0\)
\(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{PMQ}=180^0\Rightarrow PQ\) là đường kính
\(b,\left\{{}\begin{matrix}MA\text{//}BS\left(\bot BQ\right)\\MB\text{//}AS\left(\bot AP\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow AMBS\) là hbh
\(c,\widehat{AQB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}=45^0\\ \Rightarrow\Delta HAQ\text{ vuông cân tại }A\\ \Rightarrow QA=AH\\ PS\text{//}AM\Rightarrow\widehat{APS}=\widehat{PAM}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{PM}=45^0\\ \Rightarrow\Delta SAP\text{ vuông cân tại }A\\ \Rightarrow AP=AS\\ \Rightarrow\Delta SAH=\Delta PAQ\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow SH=PQ=2R\left(const\right)\)