Question

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB ; lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC.Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM và CN đến (O)

a)Chứng minh: \(\Delta\)AMN là tam giác cân . Tính CM và AM theo R

b)Chứng minh: AMCN là hình thoi. Tính S_AMCN theo R

c)Gọi I là trung điểm của CM;AI cắt OM tại K . Chứng minh K là trung điểm của AI

d)Tính S_{\(\Delta\)AKB} theo R

Answer 1

a) CM và CN là hai tiếp tuyến của (O) tại M và N 

=> CM = CN và CO là p/g của góc MCN (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác AMC và ANC có: CM = CN ; góc MCA = NCA  (do CO là p/g của góc MCN); Cạnh chung CA

=> tam giác AMC = ANC (c - g- c)

=> AM = AN => tam giác AMN cân tại A

+) B là trung điểm của OC => OC = 2.OB = 2R

CM là tiếp tuyến của (O) tại M => CM vuông góc với OM

=> tam giác OMC vuông tại M 

=> CM² = CO² - OM² (Theo ĐL Pi ta go)

=> CM² = (2R)² - R² = 3R² => CM = R.\(\sqrt{3}\)

+) Nối M với B; MN cắt OC tại P

Ta có: OM = ON (= R) ; CM = CN => OC là trung trực của MN => MP vuông góc với OC

AD hệ thức lượng trong  tam giác vuông OMC có:  OM² = OP. OC => OP = OM² / OC = R²/ 2R = R/2

=> AP = AO + OP = R + R/2 = 3R/2

 và MP . OC = OM . MC => MP = OM . MC : OC = R.(R. \(\sqrt{3}\)) : 2R = R\(\sqrt{3}\)/2

Trong tam giác vuông APM có: AM² = AP² + PM² = (3R/2)²  + ( R\(\sqrt{3}\)/2)² = 3R²

=> AM = R\(\sqrt{3}\)

b) Từ câu a) => AM = CM mà AM = AN; CM = CN => AM = AN = NC = CM 

=> Từ giác AMCN là hình thoi 

Vì OC là trung trực của mN => P là trung điểm của MN => MN = 2MP = R \(\sqrt{3}\); AC = AB + BC = 3R

S_AMCN  = AC . MN : 2 = 3R.  R\(\sqrt{3}\) : 2 =  3\(\sqrt{3}\)R²/2

c) Xét tam giác AMN  có O thuộc trung tuyến AP và AO = 2/3AP 

=> O là trọng tâm tam giác AMN => MO là đường trung tuyến

Kéo dài MO cắt AN tại H => H là trung điểm của AN => AH = AN/2 

mà MI = MC/2 ; AN = CM => AH = MI ; AH //MI

=> AMIH là hình bình hành ; K là giao của hai đường chéo MH và AI => K là trung điểm của AI

d) S_AMC = MP.AC : 2 = R\(\sqrt{3}\)/2. 3R : 2 = 3\(\sqrt{3}\)R²/4

I là trung điểm của CM => S_AIC = S_AMC /2 = 3\(\sqrt{3}\)R²/8

+) Xét tam giác OCM có: I; B là trung điểm của CM và OC => BI là đường trung bình

=> OM // BI; OM vuông góc với CM => BI vuông góc với CM

BI = OM/2 = R/2 ; CI = CM/2 = \(\sqrt{3}\)R/2

=> tam giác BIC vuông tại I => S_BIC = BI. IC : 2 = \(\sqrt{3}\)R²/8

=> S(AIB) = S(AIC) - S(BIC) = 2\(\sqrt{3}\)R²/8

Mà K là trung điểm của AI => S(AKB) = S(AIB)/2 = \(\sqrt{3}\)R²/8