Question

Cho đường tròn (O;R), điểm A thuộc (O). Đường trung trực của đoạn OA cắt (O) tại M và N, cắt OA tại H

a, Chứng minh: H là trung điểm của MN và $\Delta OMA$ đều

b, Vẽ 2 tiếp tuyến tại M và N của (O), chúng cắt nhau tại S. Chứng minh: 3 điểm O,A,S thẳng hàng. Tính MS,MH theo R

c, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt SN tại B. CHứng minh: AB là tiếp tuyến của (O) và A là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta SMN$

d,Gọi I là giao điểm của MN và OB. Chứng minh: HI.HN+HA.HS=R²

Answer 1

a: ΔOMN cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của MN

Xét tứ giác OMAN có

H là trung điểm chung của OA và MN

OM=ON

Do đó: OMAN là hình thoi

=>OM=MA=OA

=>ΔOMA đều

b: Xét (O) có

SM,SN là tiếp tuyến

nên SM=SN

=>S nằm trên đường trung trực của MN

mà OA la trung trực của MN

nên O,A,S thẳng hàng

Vì ΔOMA đều có MH là trung tuyến

nên \(MH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

=>\(MN=R\sqrt{3}\)

góc MSN=180-120=60 độ

=>ΔMSN đều

=>\(MS=MN=R\sqrt{3}\)