Xét hoành độ giao điểm của (d) và (p) có
\(x^2=-4x-m-1\)
<=> \(x^2+4x+m+1=0\) (1)
(d) cắt (p) tại hai điểm phân biệt <=> (1) có hai nghiệm phân biệt
<=> \(\Delta`\) >0
<=> \(2^2-\left(m+1\right)\) >0
<=> \(4-m-1>0\Leftrightarrow3-m>0\Leftrightarrow m< 3\)
Lại có \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{10}{3}\) <=> \(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}=\frac{10}{3}\) <=> \(\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2}=\frac{10}{3}\) (2)
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-4\\P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=m+1\end{matrix}\right.\)
kết hợp với (2) có: \(\frac{\left(-4\right)^2-2.\left(m+1\right)}{m+1}=\frac{10}{3}\)
<=> \(\frac{16-2m-2}{m+1}=\frac{14-2m}{m+1}=\frac{10}{3}\)
<=> \(3.\left(14-2m\right)=10.\left(m+1\right)\)
<=> 42 - 6m = 10m +10
<=> 42 - 6m -10m -10 =0
<=> 32 - 16m = 0
<=> 16m = 32
<=> m = 2