Cho doạn thẳng AB và 1 điểm C nằm giữa A,B.Người kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy 1 điểm I.tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K.Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a,Cm tứ giác CPKB nội tiếp được
b,Cm : AI.BK=AC.CB
C,Cm tam giác APB vuông
d,Giả sử A,B,I cố định.Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất
a) Tứ giác ACPI nội tiếp nên \(\widehat{CPI}=180^0-\widehat{CAI}=90^0\)
Tứ giác CPKB có tổng 2 góc đối nhau bằng 1800
(\(\widehat{CBK}+\widehat{CPK}=90^0+90^0=180^0\))
Suy ra đpcm.
b) \(\widehat{ACI}=\widehat{BKC}=90^0-\widehat{BCK;}\widehat{CAI}=\widehat{BKC}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\Delta IAC~\Delta CBK\left(g.g\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{IA}{CB}=\frac{AC}{BK}\) Suy ra đpcm.
c) Dễ thấy:
\(\widehat{APB}=\widehat{APC}+\widehat{BPC}=\widehat{AIC}+\widehat{CKB}=\widehat{AIC}+\widehat{ACI}=90^0\)
Do đó tam giác APB vuông tại P.
d) Ta có: \(BK=\frac{AC.BC}{AI}\le\frac{\frac{\left(AC+BC\right)^2}{4}}{AI}=\frac{AB^2}{4AI}=const\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi AC = BC.
Ta có: \(S_{ABKI}=\frac{1}{2}.AB.\left(AI+BK\right)\le\frac{1}{2}AB.\left(AI+\frac{AB^2}{4AI}\right)\)
Diện tích ABKI lớn nhất khi C là trung điểm AB.