Question

Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn. Các đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{HN+HM}{HB+HC}\)

b) BM.CN = MN.BC + BN.MC

Answer 1

a: Xét ΔHNB vuông tại N và ΔHMC vuông tại M có 

\(\widehat{NHB}=\widehat{MHC}\)

Do đó: ΔHNB\(\sim\)ΔHMC

Suy ra: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HN}{HM}\)

hay \(\dfrac{HB}{HN}=\dfrac{HC}{HM}\)

Xét ΔHBC và ΔHNM có 

\(\dfrac{HB}{HN}=\dfrac{HC}{HM}\)

\(\widehat{BHC}=\widehat{NHM}\)

Do đó: ΔHBC\(\sim\)ΔHNM

Suy ra: \(\dfrac{BC}{NM}=\dfrac{HB}{HN}=\dfrac{HC}{HM}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{HN+HM}{HB+HC}\)