Question

Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC. Qua I vẽ IM ⊥ AB tại M và IN ⊥ AC tại N.

a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?

b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. C/m: ADCI là hình thoi.

c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. C/m: \(\dfrac{DK}{DC}\) = \(\dfrac{1}{3}\).

Answer 1

a) Xét tứ giác AMIN có

\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), N∈AC, M∈AB)

\(\widehat{AMI}=90^0\)(IM⊥AB)

\(\widehat{ANI}=90^0\)(IN⊥AC)

Do đó: AMIN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: IN⊥AC(gt)

AB⊥AC(ΔBCA vuông tại A)

Do đó: IN//AB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔABC có 

I là trung điểm của BC(gt)

IN//AB(cmt)

Do đó: N là trung điểm của AC(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác AICD có 

N là trung điểm của đường chéo DI(D và I đối xứng nhau qua N)

N là trung điểm của đường chéo AC(cmt)

Do đó: AICD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AICD có AC⊥DI(IN⊥AC, D∈IN)

nên AICD là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)