Question

Cho ΔABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. CMR:

a, \(AD.AH\le\dfrac{BC^2}{4}\)

b, Gọi I, K,Q,R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB,AD,CF,BC. CM: I,K,Q,R cùng nằm trên 1 đường thẳng.

Answer 1

a. -Sửa đề: \(AD.HD\le\dfrac{BC^2}{4}\)

\(\widehat{HBD}=90^0-\widehat{BHD}=90^0-\widehat{AHE}=\widehat{HAE}\)

\(\Rightarrow\)△BDH∼△ADC (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{HD}{DC}=\dfrac{BD}{AD}\Rightarrow AD.HD=BD.CD\)

-Gọi M là trung điểm BC.

\(AD.AH\le\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow BD.CD\le\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow\left(BM-DM\right)\left(CM+DM\right)\le\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow\left(BM-DM\right)\left(BM+DM\right)\le\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow BM^2-DM^2\le\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow DM^2\ge BM^2-\dfrac{BC^2}{4}=\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2-\dfrac{BC^2}{4}=0\left(đúng\right)\)

-Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)△ABC cân tại A.

 

Answer 2

-Bài b mới làm trong vở bài tập hôm qua xong .-. . Mặc dù tên điểm hơi khác.

Answer 3