\(\left(x+1\right).P\left(x-1\right)+x.P\left(x-3\right)=0\)
Thay x = 0 vào đẳng thức trên ta được :
\(\left(0+1\right).P\left(0-1\right)+0.P\left(0-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow1.P\left(-1\right)=0\)
\(\Rightarrow P\left(-1\right)=0\) => x = - 1 là nghiệm của P(x) (1)
Thay x = - 1 vào đẳng thức trên ta được :
\(\left(-1+1\right).P\left(-1-1\right)+\left(-1\right)P\left(-1-3\right)=0\)
\(\Rightarrow-P\left(-4\right)=0\)
\(\Rightarrow P\left(-4\right)=0\) => x = - 4 là nghiệm của P(x) (2)
Từ (1) ; (2) => P(x) có ít nhất 2 nghiệm (đpcm)
Với x = 0 Ta có :
0.P ( 0 + 2 ) - ( 0 - 3 ) .P ( 0 - 1 ) = 0 \(\Leftrightarrow\)0 + 3P( -1 ) = 0 \(\Leftrightarrow\)P ( -1 ) = 0
\(\Rightarrow\)x = -1 là một nghiệm của đa thức P ( x )
Với x=3 Ta có
3.P ( 3 + 2 ) - ( 3 - 3 ) .P ( 3 - 1 ) = 0\(\Leftrightarrow\)0 + 3P( 5 ) = 0 - 0.P(2) = 0 \(\Leftrightarrow\)3.P( 5 ) = 0\(\Leftrightarrow\)P( 5 ) = 0
\(\Rightarrow\)x=5 là một nghiệm của đa thức P ( x )
Vậy đa thức P ( x ) có ít nhất hai nghiệm là -1 va 0