Lời giải:
PT hoành độ giao điểm của $(d); (d_1)$:
$mx+3=\frac{-1}{m}x+3\Leftrightarrow x(m+\frac{1}{m})=0$
$\Leftrightarrow x.\frac{m^2+1}{m}=0$
$\Rightarrow x=0$ (do $m^2+1\neq 0$)
$y=mx+3=m.0+3=3$
Vậy $A(0,3)\in Oy$
$B\in Ox\Rightarrow y_B=0$.
$mx_B+3=y_B=0\Rightarrow x_B=\frac{-3}{m}$. Vậy $B(\frac{-3}{m}, 0)$
$C\in Ox\Rightarrow y_C=0$
$\frac{-1}{m}x_C+3=y_C=0\Rightarrow x_C=3m$. Vậy $C(3m,0)$
$BC=|x_B-x_C|=|\frac{-3}{m}-3m|$
Vì $ABC$ có $A\in Oy, B\in Ox, C\in Ox$ nên $AO\perp BC$
$S_{ABC}=\frac{AO.BC}{2}=\frac{|y_A|.BC}{2}=\frac{3BC}{2}$
$=\frac{3}{2}|\frac{-3}{m}-3m|=\frac{9}{2}|m+\frac{1}{m}|=\frac{9}{2}.\frac{m^2+1}{|m|}\geq \frac{9}{2}.\frac{2|m|}{|m|}=9$ (theo BĐT AM-GM)
Vậy $S_{ABC}$ min bằng $9$ khi $m^2=1\Leftrightarrow m=\pm 1$