Lời giải:
Nếu $m=1$ thì $(d): y=-2$ cách $O$ một khoảng $d=2$
Nếu $m=2$ thì $(d): x=1$ cách $O$ một khoảng $d=1$
Nếu $m\neq 1;2$:
Gọi $A$ và $B$ là giao điểm của $(d)$ với trục $Ox, Oy$
$y_A=0\Rightarrow x_A=\frac{1}{m-1}$
$x_B=0\Rightarrow y_B=\frac{2}{m-2}$
Gọi khoảng cách từ $O$ đến (d) là $h$ thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:
\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}\) \(=(m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2\)
Để $h_{\max}$ thì $\frac{1}{h^2}$ min hay $(m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2$ min
Dễ thấy:
\((m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2=\frac{3}{2}m^2-4m+3\) \(=\frac{3}{2}(m-\frac{4}{3})^2+\frac{1}{3}\) đạt min khi $m=\frac{4}{3}$
Khi đó $h=\sqrt{3}$
Thông qua các TH trên thì thấy $m=1$ thì thỏa đề.
