Question

cho các số x,y,z thỏa mãn hệ phương trình sao:

x² + y² + z² =1

x³ + y³  + z³ =1

Tính P=xyz

Answer 1

Vì x^2+y^2+z^2=1 nên 0 <= x^2<=1, 0<=y^2<=1, 0<=z^2<=1 ( <= : nhỏ hơn hoặc bằng nha bn:))

suy ra -1<=x<=1: -1<=y<=1,-1<=z<=1 (*)

Xét x^2+y^2+z^2-(x^3+y^3+x^3)=1

     x^2(1-x)+y^2(1-y)+z^2(1-z)=0 (**)

Có x^2 , y^2, z^2>=0 với mọi x,y,z

Lại có x<=1, y<=1, z<=1 nên 1-x>=0, 1-y>=0, 1-z>0 (***)

Từ (**) và (***) suy ra:

x^2(1-x)+y^2(1-y)+z^2(1-z)>=0 với mọi x, y, z

Nên từ (*) suy ra: x^2(1-x)=0

y^2(1-y)=0

z^2(1-z)=0

Suy ra có 3 trường hợp :x=0 hoặc x=1 ; y=0 hoặc y=1, z=0 hoặc z=1

Với x=1 suy ra y=z=0 nên P=0

Với y=1 suy ra x=z=0 nên P=0

Với z=1 suy ra y=x=0 nên P=0

Vậy trong mọi trường hợp P=0