Question

cho các số thực khác 0 chứng minh \(\frac{a^2+3bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+3ac}{a^2+c^2}+\frac{c^2+3ab}{a^2+b^2}\ge0\)

Answer 1

Akai HarumaPhạm Minh QuangtthVũ Minh Tuấn giup voi a

Answer 2

Note: Sao tớ làm nó toàn ra > 0 nhỉ???Liệu có sai?

Theo Dirichlet, trong 3 số a, b, c luôn tồn tại ít nhất hai số đồng dấu.

Giả sử đó là a và b=> \(ab>0\)

*Nếu a,b>0;c > 0 thì bài toán hiển nhiên đúng!

*Nếu a, b > 0 ; c < 0 thì:

\(VT\ge\frac{3}{2}+\frac{3bc}{b^2+c^2}+\frac{3ca}{a^2+c^2}+\frac{3ab}{a^2+b^2}\)

\(>\frac{3}{2}+\frac{3bc}{2bc}+\frac{3ca}{2ca}=\frac{3}{2}.3=\frac{9}{2}>0\) (do ab > 0)

*Nếu a, b < 0; c < 0 thì bài toán cũng hiển nhiên đúng!

*Nếu a, b < 0; c > 0 thì:

\(\frac{a^2+3bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+3ac}{a^2+c^2}+\frac{c^2+3ab}{a^2+b^2}\)

\(\ge\frac{3}{2}+\frac{3bc}{b^2+c^2}+\frac{3ac}{a^2+c^2}+\frac{3ab}{a^2+b^2}\)

\(>\frac{3}{2}+\frac{3bc}{2bc}+\frac{3ca}{2ac}+\frac{3.0}{a^2+b^2}\)

\(=\frac{9}{2}>0\)

Do đó VT > 0?