Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :
\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}\)
=> \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}\) (1)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1
CM tương tự ra có " \(\frac{1}{\left(y+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{y+1}{4}\)(2) ; \(\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{z+1}{4}\) (3)
Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1
Từ (1) (2) và (3) => \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{x+y+z+3}{4}\)\(\ge\frac{9}{4}-\frac{3\sqrt[3]{xyz}+3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}\)
BĐT được chứng minh
Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1
