Question

cho các số thực dương x;y;z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\le3xyz\)tìm max 

P=\(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\)

Answer 1

ĐẶt \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) ( cho dễ nhìn thôi ko có ý j cả :) )

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng lại :

\(P\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Lại theo AM-GM có

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)  khi đó

\(P\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=1\)