Question

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(\frac{12}{xy}+\frac{20}{yz}+\frac{15}{zx}\le1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{3}{\sqrt{x^2+9}}+\frac{4}{\sqrt{y^2+16}}+\frac{5}{\sqrt{z^2+25}}\)

Answer 1

Nếu đề làm tìm max P thì giải như sau:

Đặt $(\frac{3}{x}, \frac{4}{y}, \frac{5}{z})=(a,b,c)$ thì bài toán trở thành:

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ac\leq 1$.

Tìm GTLN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}$

---------------------------

Vì $ab+bc+ac\leq 1$ nên:

$P\leq \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}$

$=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{1}{2}(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a})+\frac{1}{2}(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})$

(theo AM-GM)

Hay $P\leq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}$

Vậy $P_{\max}=\frac{3}{2}$.

Giá trị này đạt được khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{3}{x}=\frac{4}{y}=\frac{5}{z}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Answer 2

Bạn xem lại đề xem tìm max hay min P vậy? Với điều kiện đề mình nghĩ tìm max P.