Áp dụng bđt : \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(1)
CM bđt đúng: Từ (1) => 3xy + 3yz + 3xz \(\le\)x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
<=> 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz \(\ge\)0
<=> (x - y)2 + (y - z)2 + (x - z)2 \(\ge\)0 (luôn đúng với mọi x;y;z)
Khi đó: P = \(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy MaxP = 3 khi a = b = c = 1
Ta có đánh giá quen thuộc sau: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng, ta được: \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Thay vào ta được:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)