- Nếu cả 3 số đều ko âm thì \(abc\le\frac{1}{27}\Rightarrow VT< 0\) BĐT luôn đúng
- Nếu 2 trong 3 số không âm thì \(abc\le0\Rightarrow VT< 0\) BĐT luôn đúng
Do đó ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp 2 số âm, 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}c>0\\a;b< 0\end{matrix}\right.\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=-p\\b=-q\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p;q;c>0\)
\(\Rightarrow c-p-q=1\Rightarrow c=p+q+1\)
BĐT trở thành: \(8pq\left(p+q\right)-8\le\left[\left(p+q\right)^2+p+q-pq-1\right]^2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}p+q=x>0\\pq=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2\ge4y\)
Ta cần c/m: \(8y\left(x+1\right)-8\le\left(x^2+x-y-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2y-x^2-10xy-2x+y^2-6y+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2y-2x^2-10xy-2x+8+\left(y-1\right)^2+\left(x^2-4y\right)\ge0\)
Do \(\left(y-1\right)^2+\left(x^2-4y\right)\ge0\) nên ta chỉ cần chứng minh:
\(x^4+2x^3-2x^2y-2x^2-10xy-2x+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2\left(\frac{x^2}{4}\right)-2x^2-10x\left(\frac{x^2}{4}\right)-2x+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3-4x^2-4x+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+3x+4\right)\ge0\) (luôn đúng với \(x>0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow p=q=1\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;3\right)\) và hoán vị
//Hơi trâu bò :(