Theo giả thiết, ta có: \(\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow c^2=ab-ac-bc+c^2\)
\(\Leftrightarrow c^2=a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\Leftrightarrow c^2=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)(1)
Đặt \(\left(a-c;b-c\right)=d\). Khi đó thì \(\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮d^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(c^2⋮d^2\Leftrightarrow c⋮d\). Mặt khác \(\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)
Suy ra được: \(\left(a,b,c\right)=d\)mà a,b,c nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Vậy thì \(\left(a-c;b-c\right)=1\)
Mà \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)nên tồn tại hai số nguyên dương m, n sao cho \(\hept{\begin{cases}a-c=m^2\\b-c=n^2\end{cases}}\Rightarrow c^2=\left(mn\right)^2\Rightarrow c=mn\)(do c, m, n nguyên dương)
Khi đó \(a+b=\left(a-c\right)+\left(b-c\right)+2c\)
\(=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\)(là số chính phương)
Vậy a + b là số chính phương (đpcm)