Question

Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho: a^2 + b^2 = c^2. CMR: ab chia hết cho a + b + c.
Giải chi tiết giúp e với 

Answer 1

\(a^2+b^2=c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=c^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-c^2=2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=2ab\)

Do \(\left(a+b+c\right)+\left(a+b-c\right)=2\left(a+b\right)\) là 1 số chẵn nên \(a+b+c\) và \(a+b-c\) luôn cùng tính chẵn lẻ

Mà \(2ab\) chẵn \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\) chẵn

\(\Rightarrow a+b+c\) và \(a+b-c\) đều chẵn

Do \(a+b-c\) chẵn, đặt \(a+b-c=2k\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).2k=2ab\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).k=ab\)

\(\Rightarrow a+b+c\) là ước của \(ab\) nên \(ab\) chia hết \(a+b+c\)