Question

Cho các số dương x, y thoả mãn \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=x^2+y^2=x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}.\)Tính giá trị của x + y .

Answer 1

Lời giải:

Điều kiện đề bài:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2-x\sqrt{x}-y\sqrt{y}=0\\ x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}-x^2-y^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)+y\sqrt{y}(\sqrt{y}-1)=0\\ x^2(\sqrt{x}-1)+y^2(\sqrt{y}-1)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (x^2-x\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)+(y^2-y\sqrt{y})(\sqrt{y}-1)=0\) (lấy vế 2 trừ vế 1)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2+y\sqrt{y}(\sqrt{y}-1)^2=0\)

Vì mỗi số hạng trên đều không âm với mọi $x,y>0$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\(x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2=y\sqrt{y}(\sqrt{y}-1)^2=0\)

\(\Rightarrow x=y=1\Rightarrow x+y=2\)