\(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\)
\(A>\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{c+a+b}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(A>\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}>2\Rightarrow dpcm\)
Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}\)
Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng:
\(M=\frac{1}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}+2017\)
Cho ba số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng
\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\)
Với các số dương a,b,c chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\) lớn hơn hoặc bằng \(\frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}\)
Cho a+b+c=3 với a,b,c là các số thực dương .
Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}\)+ \(\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{1}{2}\)
Cho các số dương a,b,c.Chứng minh:
P=\(\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(c^2+a^2\right)}{c+a}+\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\le a^2+b^2+c^2\)
Cho a,b,c là các số thực dương, Chứng minh rằng \(\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{4a^3+\left(b+c\right)^3}+\frac{\left(2b+a+c\right)^2}{4b^3+\left(a+c\right)^3}+\frac{\left(2c+a+b\right)^2}{4c^3+\left(a+b\right)^3}\)
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}>2\) (HSG Vĩnh Phúc 2020 - 2021)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c=1\)
Chứng minh rằng: \(\left(\frac{4a}{b+c}+1\right)\left(\frac{4b}{c+a}+1\right)\left(\frac{4c}{a+b}+1\right)>25\)